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当前 - 选择题 - 线性规划中等
单选题
2024年5月第9题
中等
单选题
2024年5月第9题
#第二版教材
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如果X和Y都是某线性规划问题的最优解，则当（【λ,μ>=0，λ+μ=1】）时，λX+μY一定也是其最优解。
问题（1）
浓缩知识点
线性规划问题的可行域是由约束条件确定的凸多面体，属于凸集合，其最优解集合同样具有凸性特征。若存在两个不同的最优解X和Y，那么满足系数λ、μ均非负且λ+μ=1的凸组合λX+μY，必然也是该问题的最优解，这类组合对应X与Y连线上的所有点。进一步拓展可知，当线性规划存在多个最优解时，全部最优解构成一个凸集，任意多个最优解的凸组合都属于最优解范畴；若最优解唯一，则该凸集退化为单个点。
正确答案
B
本题考察的是线性规划最优解的凸性性质。
在线性规划中，目标函数是线性的，约束条件构成一个凸多面体（即可行域是一个凸集合）。一个重要的性质是：如果X和Y都是最优解，则在X和Y之间的任意凸组合也是最优解。
所谓凸组合，指的是形如 λX + μY，且满足 λ ≥ 0，μ ≥ 0，λ + μ = 1 的线性组合。它代表从X到Y之间连线上所有点，属于线段内的点。
A选项 λ+μ=1：缺少λ,μ≥0的限制，不一定保证是凸组合，不正确。
B选项 λ,μ≥0，λ+μ=1：符合凸组合的定义，表示X与Y之间所有的线性插值点，这些点也都是最优解，正确。
C选项 λ,μ≥0：这只是线性组合的非负条件，但λ+μ不一定为1，可能会超出X与Y之间的连线段，不一定仍是最优解，不正确。
D选项 λ,μ≥0，λ+μ=2：不满足凸组合的定义，实际表示在X与Y之间连线的外部延长线上，不能保证仍是最优解，不正确。
因此，选项 B 正确。