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当前 - 选择题 - 数学建模困难
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2024年5月第24题
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#数学与经济管理
#数学建模
#凯恩建议了解即可
#教材之外（超纲）
三位专家给10幅画作投票，每位专家有5票可以投给其中的5幅画作。凡是大于等于3票的画作评为A等，得2票的画作评为B等，得1票的画作评为C等。投票结果，每幅画作都有得票。据此，以下叙述中只有（__）是正确的。
问题（1）
正确答案B
凯恩解析
本题考察的是分类计数与方程约束建模。
设A、B、C三类画作数量分别为a、b、c，则有总幅数约束a+b+c=10，总票数约束3a+2b+1c=15。两式相减可得2a+b=5。由此解得非负整数解为(a,b)∈{(0,5),(1,3),(2,1)}，对应c=10−a−b分别为5、6、7，并且恒有c−a=5。
A选项 A等最多可有5幅：由2a+b=5得a≤2，因此A等最多2幅，不可能达到5幅，错误。
B选项 A等比C等少5幅：由上面求解得到所有可行解都满足c−a=5，即C等始终比A等多5幅，等价于A等比C等少5幅，正确。
C选项 B等与C等共7幅：由a+b=5−a可得b+c=10−a，随a取0、1、2时，b+c分别为10、9、8，均不为7，错误。
D选项 A等与B等共6幅：由2a+b=5可得a+b=5−a，随a取0、1、2时，a+b分别为5、4、3，均不为6，错误。
因此，选项 B 正确。