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当前 - 选择题 - 线性规划中等
单选题
2025年5月第12题
中等
单选题
2025年5月第12题
#必须掌握
已知实数 x、y 满足以下线性不等式约束
x − 1 ≥ 0， x − y ≤ 0， x + y − 4 ≤ 0
求比值 y/x 的最大值（【3】）。
问题（1）
浓缩知识点
线性规划中处理形如y/x或(y-b)/(x-a)的分式型目标函数时，可将其转化为几何意义求解，y/x对应可行域内的点(x,y)与原点连线的斜率，(y-b)/(x-a)则对应点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率。确定线性约束的可行域时，需先画出各约束条件对应的边界直线，再根据不等号方向划定区域，取交集得到可行域，线性约束下的可行域多为凸多边形或无界凸区域。此类斜率型目标函数的最值一般出现在可行域的顶点位置，求解时可先求出可行域的所有顶点，计算各顶点与对应定点连线的斜率，对比后得到最值；若可行域无界，需结合斜率的变化趋势判断是否存在最值。此外，对于其他形式的分式目标函数，也可尝试通过代数变形或几何转换，将问题转化为熟悉的几何量求解，拓展代数最值问题的解题思路。
正确答案
C
本题考察线性规划中“直线约束可行域边界与目标函数极值” 的求解思路。
第一步 确定可行域
由 x − 1 ≥ 0 得 x ≥ 1；
由 x − y ≤ 0 得 y ≥ x；
由 x + y − 4 ≤ 0 得 x + y ≤ 4。
第二步 化简约束区间
将 y ≥ x 代入 x + y ≤ 4 可得 x + x ≤ 4，即 2x ≤ 4，故 1 ≤ x ≤ 2。
在此区间内，为使 y/x 最大，应令 y 取可行上界 4 − x，得到目标函数
f(x)= (4 − x)/x = 4/x − 1。
第三步 求极大值
f(x) 随 x 增大而单调递减，故取最小的 x=1，可得 y=3，极大值 f_max = 3/1 = 3。