本题考察的是工程问题。

设两人一起做了 $x$ 天。甲效率为 $\frac{1}{20}$，乙效率为 $\frac{1}{30}$，甲最后单独做 $15$ 天完成 $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ 的工作，因此两人合做部分完成 $\frac{1}{4}$。合做效率为 $\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}$，所以 $\frac{x}{12}=\frac{1}{4}$，$x=3$。

选项 A：2 天。若两人只合作 2 天，只完成 $2 × (\frac{1}{20}+\frac{1}{30})=\frac{1}{6}$，加上甲单独完成的 $\frac{3}{4}$ 后不足 1，不满足完工条件。
选项 B：3 天。两人合作效率为 $\frac{1}{12}$，合作 3 天完成 $\frac{1}{4}$；再加上甲 15 天完成的 $\frac{3}{4}$，正好完成全部工作。
选项 C：4 天。若合作 4 天，则合作部分为 $\frac{1}{3}$，再加甲单独部分会超过总工作量，不符合题干“剩余工作”的约束。
选项 D：5 天。若合作 5 天，则合作部分为 $\frac{5}{12}$，总完成量也会超过 1，说明合作天数过长。

因此，选项 B 正确。