本题考察的是电子邮件相关协议的分类与作用。
A选项 SMTP：简单邮件传输协议（Simple Mail Transfer Protocol），主要用于邮件的发送和中转，而非客户端与服务器之间的邮件同步，因此不符合题干描述。
B选项 POP3：邮局协议版本3（Post Office Protocol 3），主要用于客户端从服务器下载邮件。下载后，邮件默认会被删除或只保留副本，客户端上的操作通常不会反馈到服务器，不支持题干所说的同步操作，因此错误。
C选项 IMAP4：互联网邮件访问协议版本4（Internet Message Access Protocol 4），支持客户端和服务器之间的双向同步。用户在客户端进行的移动、删除等操作会实时更新到服务器上，与题干描述完全一致，因此正确。
D选项 MIME：多用途互联网邮件扩展（Multipurpose Internet Mail Extensions），用于支持电子邮件中的非 ASCII 文本、附件、多媒体内容等，不涉及邮件同步功能，因此不符合题干描述。
因此，正确答案是 C. IMAP4。