本题考察的是数据库规范化设计与第三范式。
A选项 只允许记录一个亲属信息：显然不合理，题目已经说明一个员工可能有多个家庭成员，仅能记录一个会导致信息缺失，因此错误。
B选项 不作任何处理：虽然表面上看已经没有非主属性对码的传递依赖，但实际上“家庭成员、关系、联系电话”与“员工号”之间是一对多关系，如果放在同一个表中会导致数据冗余（例如员工基本信息会重复），并不符合规范化设计要求，因此错误。
C选项 增加多个家庭成员字段：比如设计成“家庭成员1、关系1、电话1，家庭成员2、关系2、电话2……”，这种方法不仅会使表结构僵化、不利于扩展，而且数据查询和维护都非常麻烦，因此错误。
D选项 独立成一个新模式：应当将“家庭成员、关系、联系电话”与“员工号”组成一个新的关系模式（如 Emp_Family（员工号，家庭成员，关系，联系电话）），从而形成一对多关系的合理表示，避免冗余，便于扩展，符合数据库规范化的设计思想，因此正确。
因此，本题的正确答案是 D。