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单选题
2022年11月第58题
#数学与经济管理
#概率统计
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计算机产生的随机数大体上能在(0,1)区间内均匀分布。假设某初等函数 f(x) 在(0,1)区间内取值也在(0,1)区间内,如果由计算机产生的大量的(M个)随机数对(r1,r2)中,符合 r2 ≤ f(r1) 条件的有N个,则 N/M 可作为(__)的近似计算结果。

问题(1)
正确答案D
凯恩解析

本题可根据几何概型的原理,结合定积分的几何意义来分析NM\frac{N}{M}所代表的近似计算结果。
1.分析随机数对(r1,r2)(r1, r2)的分布情况
已知计算机产生的随机数对(r1,r2)(r1, r2)(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)这个正方形区域内均匀分布(其中(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)表示横坐标r1r1取值范围是(0,1)(0, 1),纵坐标r2r2取值范围也是(0,1)(0, 1) ,该正方形区域的面积S=1×1=1S = 1\times1 = 1

2.分析满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的区域
对于每一个r1r1,满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的点(r1,r2)(r1, r2)构成的区域,从几何角度看,在xyx - y平面(这里xx对应r1r1yy对应r2r2 上,它是由曲线y=f(x)y = f(x)x(0,1)x\in(0, 1) )与x=0x = 0x=1x = 1y=0y = 0所围成的区域。

根据定积分的几何意义,对于函数y=f(x)y = f(x),在区间[a,b][a, b]上,定积分abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx表示由曲线y=f(x)y = f(x)、直线x=ax = a、直线x=bx = b以及xx轴所围成的曲边梯形的面积。
在本题中,a=0a = 0b=1b = 1,那么01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx就表示由曲线y=f(x)y = f(x)x(0,1)x\in(0, 1) )与x=0x = 0x=1x = 1y=0y = 0所围成区域的面积。

3.根据几何概型计算概率
根据几何概型的概率计算公式P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}
在本题中,事件AA为随机数对(r1,r2)(r1, r2)满足r2f(r1)r2\leq f(r1),试验的全部结果所构成的区域是(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)正方形区域,面积为11;构成事件AA的区域面积就是01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx

当产生大量随机数对(M)(M 个)时,满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的随机数对有NN个,根据频率趋近于概率,NM\frac{N}{M}近似等于事件AA发生的概率,也就是01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx

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