查看更多
当前 - 选择题 - 概率统计
中等
单选题
2022年11月第58题
#了解即可
#超纲

计算机产生的随机数大体上能在(0,1)区间内均匀分布。假设某初等函数 f(x) 在(0,1)区间内取值也在(0,1)区间内,如果由计算机产生的大量的(M个)随机数对(r1,r2)中,符合 r2 ≤ f(r1) 条件的有N个,则 N/M 可作为(__)的近似计算结果。

问题(1)
浓缩知识点

定积分的几何意义是,在区间[a,b]上,函数y=f(x)的定积分∫ₐᵇf(x)dx对应由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积。几何概型中,当试验的所有可能结果对应一个可度量的区域(比如平面区域的面积)时,某事件发生的概率等于该事件对应的子区域度量与总区域度量的比值,且当试验次数足够大时,事件的发生频率会趋近于其概率。基于这两个知识点延伸出的蒙特卡洛积分法,可利用均匀分布的随机数对,通过统计满足y≤f(x)的样本点在总样本点中的占比,来近似计算函数在区间上的定积分,这种方法不需要复杂的解析运算,特别适合处理高维空间或难以用常规积分方法求解的积分问题,是数值积分领域的重要方法之一。

正确答案
D

本题可根据几何概型的原理,结合定积分的几何意义来分析NM\frac{N}{M}所代表的近似计算结果。
1.分析随机数对(r1,r2)(r1, r2)的分布情况
已知计算机产生的随机数对(r1,r2)(r1, r2)(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)这个正方形区域内均匀分布(其中(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)表示横坐标r1r1取值范围是(0,1)(0, 1),纵坐标r2r2取值范围也是(0,1)(0, 1) ,该正方形区域的面积S=1×1=1S = 1\times1 = 1

2.分析满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的区域
对于每一个r1r1,满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的点(r1,r2)(r1, r2)构成的区域,从几何角度看,在xyx - y平面(这里xx对应r1r1yy对应r2r2 上,它是由曲线y=f(x)y = f(x)x(0,1)x\in(0, 1) )与x=0x = 0x=1x = 1y=0y = 0所围成的区域。

根据定积分的几何意义,对于函数y=f(x)y = f(x),在区间[a,b][a, b]上,定积分abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx表示由曲线y=f(x)y = f(x)、直线x=ax = a、直线x=bx = b以及xx轴所围成的曲边梯形的面积。
在本题中,a=0a = 0b=1b = 1,那么01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx就表示由曲线y=f(x)y = f(x)x(0,1)x\in(0, 1) )与x=0x = 0x=1x = 1y=0y = 0所围成区域的面积。

3.根据几何概型计算概率
根据几何概型的概率计算公式P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}
在本题中,事件AA为随机数对(r1,r2)(r1, r2)满足r2f(r1)r2\leq f(r1),试验的全部结果所构成的区域是(0,1)×(0,1)(0, 1)\times(0, 1)正方形区域,面积为11;构成事件AA的区域面积就是01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx

当产生大量随机数对(M)(M 个)时,满足r2f(r1)r2\leq f(r1)的随机数对有NN个,根据频率趋近于概率,NM\frac{N}{M}近似等于事件AA发生的概率,也就是01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx

联系我们
隐私协议
用户协议
微信公众号
知乎
小红书
浙ICP备2021029036号
@2022-2026
嘉兴市安芯网络科技有限公司 版权所有