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2013年5月第36题
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根据近几个月的数据统计，某车次火车到站晚点时间t（分钟）的概率分布密度函数可用函数f(t)=k(10-t)²(0≤t≤10)来描述，因此可以计算出其中的待定系数k=（0.003），晚点超过5分钟的概率为（1/8）。

浓缩知识点

这里涉及连续型随机变量的两类核心知识点：一是概率密度函数的归一性，指概率密度在随机变量的全部取值区间上的定积分等于1，这是求解密度函数中未知参数的通用方法，无论是本题的二次函数形式密度函数，还是均匀分布、指数分布等其他连续分布，都可借助该性质确定未知系数；二是连续型随机变量的区间概率计算，随机变量落在某一区间内的概率，等于概率密度函数在该区间上的定积分，计算时可通过换元法等积分技巧简化运算，同时要注意连续型随机变量取单个具体值的概率为0，因此“大于某数值”与“大于等于该数值”的概率结果完全一致。

正确答案
A

本题考察的是概率密度函数与积分求解分布概率的基本知识点。
问题 1：
题目已给出概率分布密度函数，同时也给出了t的取值范围，所以可通过积分操作求得概率，对t从0到10进行积分，可以得到全概率空间100%，即1。所以有：
∫010K(10−t)2 dt=1\int_{0}^{10} K(10 - t)^2 \, dt = 1

∫010(10−t)2 dt=∫010(100−20t+t2) dt=100⋅10−20⋅1022+1033=1000−1000+10003=10003\begin{aligned} \int_{0}^{10} (10 - t)^2 \, dt &= \int_{0}^{10} (100 - 20t + t^2) \, dt \\ &= 100 \cdot 10 - 20 \cdot \frac{10^2}{2} + \frac{10^3}{3} \\ &= 1000 - 1000 + \frac{1000}{3} = \frac{1000}{3} \end{aligned}

所以
K⋅10003=1⇒K=31000K \cdot \frac{1000}{3} = 1 \Rightarrow K = \frac{3}{1000}
通过解此方程，可以求得k=0.003。

问题 2：
接下来的问题是求晚点超过5分钟的概率，即求t从5到10这个区间的概率。该概率可用以下公式求得。
∫510(10−t)2 dt=∫05u2 du=533=1253\int_{5}^{10} (10 - t)^2\,dt = \int_{0}^{5} u^2\,du = \frac{5^3}{3} = \frac{125}{3}
P(t>5)=31000⋅1253=1251000=0.125P(t > 5) = \frac{3}{1000} \cdot \frac{125}{3} = \frac{125}{1000} = 0.125

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